中心极限定理

在客观世界中有许多随机变量，他是由大量的相互独立的随机因素综合影响形成的。而每个随机因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似服从正态分布。中心极限定理指的是，在独立随机变量的个数不断增加时，这些微小因素的和的分布趋于正态分布。

中心极限定理的研究对象是随机变量之和，也就是叠加后的结果。中心是重要的意思。

1 定义

独立同分布的中心极限定理的前提是样本（\(X_1,X_2,X_3,...,X_n\)）相互独立且服从同一个分布。具有数学期望和方差。

• 期望：\(E(X_k)=\mu\)
• 方差：\(D(X_k)=\sigma^2\)

随机变量之和 \(\sum_{k=1}^{n}X_k\) （新的随机变量）标准化后：

\[ Y_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}X_k-n\mu}{\sqrt{D(\sum_{k=1}^{n}X_k)}}=\frac{\sum_{k=1}^{n}X_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \]

叠加后的期望为 \(n\mu\)，方差为 \(\sqrt{n}\sigma\)

2 例子

加法器同时收到 \(20\) 个噪声电压 \(V_k\)，假设它们是相互独立的随机变量，且都在区间 \((0,10)\) 上服从均匀分布，记作 \(V=\sum_{k=1}^{k=20}V_k\)，求 \(P\{V>105\}\) 的近似值。

均匀分布的期望和方差：

• 期望：\(E(V_k)=\frac{0+10}{2}=5\)
• 方差：\(D(V_k)=\frac{(10-0)^2}{12}=\frac{100}{12}\)

独立同分布中心极限定理：

\[ \frac{\sum_{k=1}^{k=20}V_k-20\times 5}{\sqrt{20}\sqrt{\frac{100}{12}}}\sim N(0,1) \]

问题转化为：

\[ \begin{aligned} P\left\{\sum_{k=1}^{k=20}V_k >105\right\}&=P\left\{\frac{\sum_{k=1}^{k=20}V_k-20\times 5}{\sqrt{20}\sqrt{\frac{100}{12}}}>\frac{105-100}{\sqrt{20}\sqrt{\frac{100}{12}}}\right\}\\ &=1-\Phi{(0.387)} \end{aligned} \]