变量独立性

在观察两个（或多个）变量时只有一个标准，就是定义：\(P\{X=x,Y=y\}=P\{X=x\}P\{Y=y\}\)

1 对于离散型变量

假设随机变量 \((X,Y)\) 具有分布律： \(P\{X=x,Y=y\}=p^2(1-p)^{x+y-2}, 0<p<1\)，其中 \(x,y\) 均为正整数，问 \(X,Y\) 是否独立。

\(X\) 的边缘分布如下：

\[ \begin{aligned} P\{X=x\}&=P\{X=x,Y=1\}+P\{X=x,Y=2\}+\cdots+P\{X=x,Y=+\infty\}\\ &=p^2(1-p)^{x+1-2}+p^2(1-p)^{x+2-2}+\cdots+p^2(1-p)^{x+\infty-2}\\ &=\sum_{y=1}^{+\infty}p^2(1-p)^{x+y-2}\\ &=p^2(1-p)^{x-2}\sum_{y=1}^{+\infty}(1-p)^{y}\\ &=p^2(1-p)^{x-2}\frac{1-p}{p}\\ &=p(1-p)^{x-1} \end{aligned} \]

注意，此处有个等比数列的小结论：

\[ \sum_{k=1}^{+\infty}x^k=\frac{x}{1-x}, 0<x<1 \]

根据对称性：

\[ P\{Y=y\}=p(1-p)^{y-1} \]

综上：

\[ P\{X=x\}P\{Y=y\}=p^2(1-p)^{x+y-2} \]

即独立性得以证明。

2 对于连续型变量

假设二维随机变量 \((X,Y)\) 具有概率密度：

\[ f(x,y)=\begin{cases} & 2e^{-(2x+y)}, x>0,y>0\\ & 0, \text{other} \end{cases} \]

变量 \(X\) 的边缘分布：

\[ F_X(x)=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(2x+y)}dy=\begin{cases} 2e^{-2x}, x>0\\ 0, \text{other} \end{cases} \]

同理，变量 \(Y\) 的边缘分布：

\[ F_Y(y)=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(2x+y)}dx=\begin{cases} e^{-y}, y>0\\ 0, \text{other} \end{cases} \] 两者相乘：

\[ F_X(x)F_Y(y)=2e^{-(2x+y)} \]

综上可知 \((X,Y)\) 相互独立。