向量的基本几何意义

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Author

Guangyao Zhao

Published

Mar 2, 2022

本章重点需要理解向量的意义，以及向量的基本运算，即加法、内积和叉积。

1 向量概念的几何意义

  1. 向量是一个既有大小又有方向的量，这个量本身就是个几何的概念。
  2. 在物理学中把向量叫做矢量。矢就是箭，向量如同一根箭一样有头部和尾部，箭在空间自由的飞行中箭杆的长度不会变，这一点和向量相同；同时箭在无重力作用的理想情况下方向不会改变。也就是说长度和方向不变的理想之箭就是一个向量。所以向量的”飞行”称之为平移，这种允许在一条直线上平移的向量称为自由向量。
  3. 物理界将 vector 称之为矢量，数学界称之为向量。
  4. 向量的几何表示为 \(\boldsymbol{AB}\)；代数表示为 \(\boldsymbol{a}\)；手写时因为表示困难，所以写为\(\overrightarrow{a}\).
  5. 虽然向量独立于任何坐标系之外，但是为了与解析技术联系起来实现对向量的计算，数学上还是必须将向量放在某一个坐标系下研究。如果把空间中所有的向量的尾部都拉到坐标原点，这样 \(n\) 维空间就可以和 \(n\) 维向量空间建立一一对应的关系。
  6. 一旦确定好坐标系，一个向量就是与一个点对应，而点是所谓坐标的有序数组表示的，因此就可以把向量用有序数组表示，有了有序数组就可以运算了。使用有序数组表述的向量是以原点为起点的向量末端的坐标值表示，并把坐标值用圆括号括起来，如 \(\boldsymbol{a}=(x,y,z)\)。在此处的有序数组 \((x,y,z)\) 就是向量。
  7. 一个向量可以分解为三个单位坐标向量的线性表示，比如向量 \((1,1,1)\) 分解如下：\((1,1,1)=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\)
  8. 任意一个向量都可以表示 为 \(\boldsymbol{a}=(x,y,z)=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\)
  9. 向量的运算有加法、减法和乘法。乘法又分为点积和叉积。除法少有提及，它需要同时用到内积和叉积后面会具体解释原因。
  10. 向量被看做线性空间或向量空间中的一个元素，但是与点不同。向量表示的是两点之间的位移而不是具体的空间的物理位置，是独立于坐标系的，这就是为什么在描述向量的运算法则的时候不需要画出坐标系，但一个点离开坐标系就无法表示。
  11. 向量实际上使用一个点对表示的，比如 \(\boldsymbol{AB}\) 表示起点为 \(A\) 终点为 \(B\)，之所以把一个点与一个向量相对应，是因为默认所有的向量都是从原点出发的。
  12. 向量的加法满足平行四边形法则。

2 向量内积的几何意义

  1. 向量的内积 (dot product) 也称之为数量积、标积、点积。内积的结果是个标量，定义如下：

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}&=ab\cos \theta\\ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}&=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \end{aligned} \]

  1. 根据内积的定义可对向量求长度：

\[ |a| = \sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}=\sqrt{a_xa_x+a_ya_y+a_za_z}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \]

  1. 那么内积的两个定义有几何关系吗？答案是有的。假设 \(a_y\) 和 \(a_z\) 均为 \(0\)，那么：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_xb_x\)，其中 \(a_x=a\)，\(ab_x\) 的含义为 \(\boldsymbol{a}\) 的长度乘以 \(\boldsymbol{b}\) 在 \(\boldsymbol{a}\) 方向上的分量，即投影。投影表示为 \(b_x=b\cos \theta\)。因此 \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=ab\cos \theta\) 得以证明。

  2. 向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积，也就是同方向的积。

  3. 如果想要将一个向量变换到新的坐标系，只需要对新坐标系轴向量进行内积运算即可（这个理论极其重要）。

  4. 内积还有一种比较直观的解释：

    1. 当两个向量的内积\(>0\)时，同方向
    2. 当两个向量的内积\(=0\)时，互相垂直
    3. 当两个向量的内积\(<0\)时，反方向

3 向量叉积的几何意义

  1. 叉积 (cross product) 也称之为外积，因为叉积或产生新的一维向量。两个向量确定了一个二维的平面，叉积会产生垂直于这个平面的向量。
  2. 叉积的定义也有两个：

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}&=(ab\sin\theta)\boldsymbol{n_0}\\ \boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}&=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-z_yb_x) \end{aligned} \]

\(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\) 为一个新生成的向量，这个向量垂直于 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 展成的平面，向量的大小等于以 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 为邻边所张成的平行四边形的面积 \(S\)；这一点很重要，在矩阵变换中有很多应用。本质上叉积和行列式的运算法则一致，具体请参考行列式一章。

垂直于平面的有两个方向，规定用右手法则来确定叉积的方向：按照 \(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\) 的运算顺序，右手的四指平直指向第一个向量 \(\boldsymbol{a}\)，然后弯曲指向向量 \(\boldsymbol{b}\)，右手大拇指的指向为 \(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\) 的方向。\(\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{a}\) 与其相反。

4 向量混合运算的几何意义

  1. 向量的加法结合律：\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\)
  2. 向量的数乘分配律：\(k(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=k\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}\)
  3. 向量的点积分配律：\(\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\boldsymbol{c}\)

相比于点积，叉积的几何意义要稍显复杂。向量叉积的满足分配律：\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}\)。即向量的叉积也满足三角形法则。

5 向量除法的几何意义

  1. 由 \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}={a}{b}\cos \theta=c\) 可知，\(\boldsymbol{a}\)和\(c\) 只能确定 \(\boldsymbol{b}\) 在 \(\boldsymbol{a}\) 上的投影，并不能直接确定 \(\boldsymbol{b}\)，所以内积没有除法。
  2. 由 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(ab\sin \theta)\boldsymbol{n}=\boldsymbol{c}\) 可知，\(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{c}\)只能确定 \(\boldsymbol{b}\sin\theta\) 的大小，并不能分别直接确定 \(\boldsymbol{b}\) 和 \(\theta\)，所以外积没有除法。

不妨尝试将两者联系：

\[ \begin{cases} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=c\\ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} \end{cases} \]

对于 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}\) 两边左叉乘 \(\boldsymbol{a}\) 得到 \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}\) 并用二重向量叉积公式（此公式比较复杂，可以当作已知条件看待） \(\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})-\boldsymbol{c}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\) 得到：

\[ \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})-\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}) \]

联立以上两个方程得到：

\[ \boldsymbol{b}=\frac{{c}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{a}\boldsymbol{c}}{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}} \]

至此，\(\boldsymbol{b}\) 得到了唯一确定的值。也就是说同时知道内积和外积的结果才能进行向量的除法运算。

6 向量几何 VS 解析几何

向量几何揭示了解析几何的本质，向量几何使用数量积使之成为超越解析几何的存在。两条直线的夹角，可以由两个方程的系数求得。但是在向量机和里，其可用两条直线的方向向量的数量积表示。本来很费事的夹角问题，通过一次运算就解决了。