实对称矩阵的性质

1 实对称矩阵是正定矩阵

对称矩阵：

\[ A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8& 10 \end{bmatrix} \]

的平方为：

\[ A^TA= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8& 10 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8& 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 14 & 36 & 49\\ 36 & 93 & 126\\ 49 & 126& 173 \end{bmatrix} \]

注意：以上并不是严格的数学证明，只是便于理解的简单计算。因为是平方，所以不可以出现矩阵为小于 \(0\) 的元素，再加上是实对称矩阵，所以最后结果 \(>0\)，即为正定矩阵。

2 实对称矩阵的特征向量正交

若 \(x_1\) 和\(x_2\) 是对称矩阵 \(A\) 的特征向量，则：\(Ax_1=\lambda_1 x_1\) 且 \(Ax_2=\lambda_2 x_2\)。如果 \(\lambda_1 \ne \lambda_2\)，则 \(x_1^Tx_2=0\)。证明过程如下：

1. 假设 \(z=x_1^TAx_2\)，因为 \(z\) 是标量，所以 \(z^T=z\)，也就是说\(x_2^TA^Tx_1=x_1^TAx_2\)
2. 因为 \(A^T=A\)，所以 \(x_2^TAx_1=x_1^TAx_2\)
3. 因为 \(Ax_1=\lambda_1 x_1\) 且 \(Ax_2=\lambda_2x_2\)，所以 \(x_2^T\lambda_1x_1=x_1^T\lambda_2x_2\)，即 \(\lambda_1x_2^Tx_1=\lambda_2x_1^Tx_2\)
4. 其中 \(x_1^Tx_2=x_2^Tx_1\)，且 \(\lambda_1 \ne \lambda_2\)。所以 \(x_1x_2=0\)，即特征向量正交

3 相似对角化

实对称矩阵一定是正交矩阵，即含有 \(n\) 个线性无关的特征矩阵。所以实对称矩阵可以对角化。

把 \(A\) 的特征向量 \(P_1, P_2, \cdots, P_n\) 排成矩阵 \(P\) 的列，运用分块运算技术，把矩阵 \(A\) 作为一个整块，或者一个常数；把矩阵 \(P\) 中每个列看做一个块（或者元素），运算如下：

\[ \begin{aligned} AP&= A\left [ P_1,P_2,\cdots,P_n \right ] = \left [ AP_1,AP_2,\cdots,AP_n \right ]\\ &=\left [ \lambda_1P_1,\lambda_2P_2,\cdots,\lambda_3P_n \right ]\\ &=\left [ P_1,P_2,\cdots,P_n \right ]\begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}=P\begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix} \end{aligned} \]

显然将最后的矩阵左乘一个 \(P\) 矩阵的逆，把 \(P\) 消简成单位阵，就得到了由特征值构成的对角阵 \(A\)，即 \(P^{-1}AP=\boldsymbol{\Lambda}\) 成立。其中 \(P\) 是原坐标系下的基向量矩阵（但不一定是单位基向量矩阵）