数字特征之期望

分布时随机变量的概率性质最完整的刻画，它包含了随机变量的所有信息。而随机变量数字特征则是侧重对随机变量某方面定量的描述。

比如我们要对一个事件有一个整体印象时，往往有一个最重要的指标，就是平均水准，比如某班级的成绩，某一行业的收入。

至于成绩的分布和收入的分布，往往不一定是最重要的。期望衡量的是变量的平均水准，本质上就是随机变量值和随机变量概率密度的乘积。

期望这一词出自于赌博，听起来太过于抽象，本不是恰当的名字，但在概率论中已经源远流长，就这么使用了过来。

1 随机变量的期望

1.1 公式

• 离散型：\(\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)
• 连续型：\(\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)

1.2 例子

0-1 分布

X	0	1
P	p	1-p

\[ E(X)=0(1-p)+1\cdot p=p \]

泊松分布

假设 \(X\sim \pi(\lambda)\)，求 \(E(X)\)。

泊松分布律：

\[ p\{X=k\}=\frac{\lambda^k\cdot e^{-\lambda}}{k!} \]

接下来计算 \(E(X)\)：

\[ \begin{aligned} E(X)&=\sum_{k=0}^{+\infty}k\frac{\lambda^k\cdot e^{-\lambda}}{k!}\\ &=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^{(k-1)}}{(k-1)!}\\ &=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}\\ &=\lambda e^{-\lambda} e^{\lambda}\\ &=\lambda \end{aligned} \]

泊松分布的期望就是 \(\lambda\)，即 \(np\)。其实也很好理解，有一批产品的良品率是 \(p\)，现有 \(n\) 个产品，求良品的期望，明显就是 \(np=\lambda\)。泊松分布本质就是二项式分布。

均匀分布

假设 \(X\sim U(a,b)\)，求 \(E(X)\)

均匀分布的公式：

\[ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, a<x<b\\ 0, \text{other} \end{cases} \]

均匀分布的期望：

\[ E(X)=\int_{a}^{b}x\frac{1}{b-a}dx=\frac{b+a}{2} \]

指数分布

某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式。记寿命为 \(X\) （以年计），规定：

• \(X<1\)，付款 \(1500\) 元
• \(X<2\)，付款 \(2000\) 元
• \(X<3\)，付款 \(3000\) 元

假设寿命服从指数分布，概率密度：

\[ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{10}e^{-\frac{x}{10}}, x>0\\ 0, x\le 0 \end{cases} \]

试求该商店一台家用电器收费 \(Y\) 的期望。

• \(P\{X\le 1\}=\int_{-\infty}^{1}f(x)dx=1-e^{-0.1}\)
• \(P\{1 < X\le 2\}=\int_{1}^{2}f(x)dx=e^{-0.1}-e^{-0.2}\)
• \(P\{2 < X\le 3\}=\int_{2}^{3}f(x)dx=e^{-0.2}-e^{-0.3}\)
• \(P\{X> 3\}=\int_{3}^{+\infty}f(x)dx=e^{-0.3}\)

综上：\(E(Y)=1500\times (1-e^{-0.1})+2000\times (e^{-0.1}-e^{-0.2})+2500\times (e^{-0.2}-e^{-0.3})+3000\times e^{-0.3}\)

指数分布本身是一种连续分布，在此处价格设置成了固定价格，所以看起来像离散分布。如果价格和年数有一定的连续关系，则本例子的计算就需要用连续变量的计算方法。

2 随机变量的函数的数学期望

随机变量的函数的数学期望类似于随机变量的分布，只是将变量 \(x\) 做了一次 \(f(x)\) 变换，本质上这两件事是一件事。直接替代即可，计算公式如下：

对于离散变量：

\[ E(Y)=E(g(X))=\sum_{k=1}^{+\infty}\underbrace{g(x_k)}_{\text{函数变换}}p_k \] 对于连续变量：

\[ E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}\underbrace{g(x)}_{\text{函数变换}}f(x)dx \] 这个比较简单，就不举例了。

3 二维随机变量的函数期望

类似于一维随机变量的函数期望，公式如下：

离散变量，计算出二维随机变量的分布律后计算期望：

\[ E(Z)=E(g(X,Y))=\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=1}^{+\infty}\underbrace{g(x_i,y_j)}_{\text{函数变换}}p_{ij} \] 连续变量：

\[ E(Z)=E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\underbrace{g(x,y)}_{\text{函数变换}}f(x,y)dxdy \]

4 数学期望的性质

• \(E(C)=C\)
• \(E(CX)=CE(X)\)
• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
• \(E(XY)=E(X)E(Y)\)，\(X,Y\)相互独立