期望和方差的混合应用

本例子清楚的表达了如何求多事件复合后的事件分布。

活塞的直径分布 \(X\sim N(22.40,0.03^2)\)，气缸的直径 \(Y\sim N(22.50,0.04^2)\)，\(X,Y\) 相互独立。取任意一个活塞，任意一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。

活塞能装入气缸的条件：\(X<Y\)，即目标为 \(P\{X<Y\}=P\{X-Y<0\}\)

由于 \(X,Y\) 相互独立，且服从正态分布，则：\(X-Y \sim N(22.40-22.50, 0.03^2+0.04^2)\)，即：

\[ X-Y\sim N(-0.01, 0.0025) \]

在遇到正态分布时，都要将其转化为标准正态分布然后查表，将其转化为标准正态分布后：

\[ \begin{aligned} P\{X-Y<0\}&=P\{\frac{X-Y-(-0.01)}{\sqrt{0.0025}}<\frac{0-(-0.01)}{\sqrt{0.0025}}\}\\ &=\Phi(\frac{0.10}{0.05})=\Phi(2)\\ &=0.9772 \end{aligned} \]