条件概率分布

条件概率是联合分布和边缘分布的综合利用。

1 离散型随机变量

一名射手进行射击，击中目标的概率为 \(p(0<p<1)\)，射击直到击中目标两次为止。假设 \((X,Y)\) 分别代表第一次和第二次的射中时的射击次数。求 \(X,Y\) 的联合分布和条件分布律。

• 射击中目标两次为止时，总共进行的射击数：\(n=1,2,3,\cdots,\)
• 射击中目标一次时，总共进行的射击数：\(m=1,2,3,\cdots, n-1\)
• \(n > m\)

联合分布律：

第 \(m\) 和 \(n\) 次命中目标的概率为 \(p\)：

\[ P\{X=m,Y=n\}=p^2(1-p)^{(n-2)} \]

由上式子可以看出其实和 \(m\) 无关。

事件 \(X\) 的边缘分布律：

\[ \begin{aligned} P\{X=m\}&=\sum_{n=m+1}^{+\infty}P\{X=m,Y=n\}\\ &=\sum_{n=m+1}^{+\infty}p^2(1-p)^{(n-2)}\\ &=p^2\sum_{n=m+1}^{+\infty}(1-p)^{(n-2)}\\ &=p^2\frac{(1-p)^{(m-1)}}{1-(1-p)}\\ &=p(1-p)^{m-1}\\ \end{aligned} \]

事件 \(Y\) 的边缘分布律：

\[ \begin{aligned} P\{Y=n\}&=\sum_{m=1}^{n-1}P\{X=m,Y=n\}\\ &=\sum_{m=1}^{n-1}p^2(1-p)^{(n-2)}\\ &={(n-1)}p^2(1-p)^{(n-2)}\\ \end{aligned} \]

注意，上式子中其实和 \(m\) 无关。

条件分布律：

\[ \begin{aligned} P\{X=m|Y=n\}&=\frac{P\{X=m,Y=n\}}{P\{Y=n\}}=\frac{p^{2}(1-p)^{n-2}}{(n-1)p^{2}(1-p)^{n-2}}=\frac{1}{n-1}\\ P\{Y=n|X=m\}&=\frac{P\{X=m,Y=n\}}{P\{X=m\}}=\frac{p^{2}(1-p)^{n-2}}{p(1-p)^{m-1}}=p(1-p)^{n-m-1} \end{aligned} \]

2 连续型随机变量

连续型随机变量的条件概率公式为：

\[ \begin{aligned} P\{X \le x|y<Y \le y+\epsilon\}&=\frac{\int_{-\infty}^{x}f(x,y)dx}{f_Y(y)}\\ f_{X|Y}(x|y)&=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{\text{联合概率}}{\text{边缘概率}} \end{aligned} \]

设二维随机变量 \((X,Y)\) 在圆 \(x^2+y^2 \le 1\) 上服从均匀分布，求条件概率密度 \(f_{X|Y}(x|y)\)

联合概率分布：

\[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{\pi}, x^2+y^2\le 1\\ 0, \text{other} \end{cases} \]

边缘概率分布：

在 \(y\) 取值范围为 \([-1,1]\) 时，\(-\sqrt{1-y^2}\le x \le \sqrt{1-y^2}\)。所以 \(y\) 的边缘分布为：

\[ \begin{aligned} F_Y(y)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\\ &=\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{\pi}dx\\ &=\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}, (-1\le y\le 1) \end{aligned} \]

条件分布为：

\[ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{1}{2\sqrt{1-y^2}} \]

相应的，当 \(y=0\) 时结果为 \(\frac{1}{2}\)，也就是半圆。