线性方程组的几何意义

数学方程分为线性方程和非线性方程。非线性在某种程度上可以转化为线性。所以线性方程组的重要性不言而喻，之前的几章都是为了此处作铺垫，如果前面的理解了，理解本章的内容就是水到渠成。本章有个比较硬核的知识点，就是大名鼎鼎的最小二乘，会单独拿出来写篇文章。

1. 矩阵方程 \(\boldsymbol{A}x=\boldsymbol{b}\) 的意思哪些向量可以被矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 转换成向量 \(\boldsymbol{b}\)
2. 什么是线性方程的解？将线性方程一切相关的东西都映射到线性空间中去想象，线性方程的解便是线性空间中的一个点或线或面甚至超平面。
3. \(n\) 为向量个数；\(r\) 为矩阵的秩；\(r_c\) 为增广矩阵的秩。根据三者关系，解的情况分为：
   1. 适定方程：\(r=r_c=n\)，唯一解，不存在线性相关向量，原线性空间不变，未压缩。
   2. 欠定方程：\(r=r_c<n\)，无数解，存在线性相关的向量，原线性空间压缩。
   3. 超定方程：\(r<r_c\)，无解，无法被化简。
4. 解的维数指的是一个点（1维），一条线（2 维），一个面（3 维）等等。

具体求解的过程反而不那么重要，只需要理解以上几点即可。线性代数最重要的是在脑海中构建出它所产生的空间，然后想象矩阵的各种变化。