连续变量的商和积

1 连续变量的商

假设 \((X,Y)\) 是二维连续型随机变量，具有概率密度为 \(f(x,y)\)，则 \(Z=\frac{Y}{X}\) 仍为连续型随机变量，其概论密度：

\[ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x,xz)dz \stackrel{X,Y\text{独立}}{\Longrightarrow}\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f_X(x)f_Y(xz)dz \]

1.1 例子

某公司提供一种地震保险，保险费 \(Y\) 的概率密度为

\[ f(y)=\begin{cases} \frac{y}{25}e^{-y/5},y>0\\ 0,\text{other} \end{cases} \]

保险赔付 \(X\) 的概率密度为

\[ f(y)=\begin{cases} \frac{1}{5}e^{-x/5},x>0\\ 0,\text{other} \end{cases} \]

假设 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，求 \(Z=Y/X\) 的概率密度

由商的密度分布可知：\(f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x,xz)dz \stackrel{X,Y\text{独立}}{\Longrightarrow}\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f_X(x)f_Y(xz)dz\)。接下来看该例子积分被积函数何时不为零：

\[ \begin{cases} f_X(x) \ne 0, x>0\\ f_Y(xz) \ne 0, xz>0\\ \end{cases} \] 则 \(x>0, z>0\)。接下来分情况讨论：

当 \(z<0\) 时，\(f_Z(z)=0\)

当 \(z>0\) 时

\[ f_Z(z) = \int_{0}^{+\infty} |x|\frac{1}{5}e^{(-x/5)}\frac{xz}{25}e^{-xz/5}dx=\frac{2z}{(1+z)^3} \]

2 连续变量的积

假设 \((X,Y)\) 是二维连续型随机变量，具有概率密度为 \(f(x,y)\)，则 \(Z={X}{Y}\) 仍为连续型随机变量，其概论密度：

\[ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f(x,xz)dz \stackrel{X,Y\text{独立}}{\Longrightarrow}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dz \]