变量独立性
在观察两个(或多个)变量时只有一个标准,就是定义:\(P\{X=x,Y=y\}=P\{X=x\}P\{Y=y\}\)
1 对于离散型变量
假设随机变量 \((X,Y)\) 具有分布律: \(P\{X=x,Y=y\}=p^2(1-p)^{x+y-2}, 0<p<1\),其中 \(x,y\) 均为正整数,问 \(X,Y\) 是否独立。
\(X\) 的边缘分布如下:
\[ \begin{aligned} P\{X=x\}&=P\{X=x,Y=1\}+P\{X=x,Y=2\}+\cdots+P\{X=x,Y=+\infty\}\\ &=p^2(1-p)^{x+1-2}+p^2(1-p)^{x+2-2}+\cdots+p^2(1-p)^{x+\infty-2}\\ &=\sum_{y=1}^{+\infty}p^2(1-p)^{x+y-2}\\ &=p^2(1-p)^{x-2}\sum_{y=1}^{+\infty}(1-p)^{y}\\ &=p^2(1-p)^{x-2}\frac{1-p}{p}\\ &=p(1-p)^{x-1} \end{aligned} \]
注意,此处有个等比数列的小结论:
\[ \sum_{k=1}^{+\infty}x^k=\frac{x}{1-x}, 0<x<1 \]
根据对称性:
\[ P\{Y=y\}=p(1-p)^{y-1} \]
综上:
\[ P\{X=x\}P\{Y=y\}=p^2(1-p)^{x+y-2} \]
即独立性得以证明。
2 对于连续型变量
假设二维随机变量 \((X,Y)\) 具有概率密度:
\[ f(x,y)=\begin{cases} & 2e^{-(2x+y)}, x>0,y>0\\ & 0, \text{other} \end{cases} \]
变量 \(X\) 的边缘分布:
\[ F_X(x)=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(2x+y)}dy=\begin{cases} 2e^{-2x}, x>0\\ 0, \text{other} \end{cases} \]
同理,变量 \(Y\) 的边缘分布:
\[ F_Y(y)=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(2x+y)}dx=\begin{cases} e^{-y}, y>0\\ 0, \text{other} \end{cases} \] 两者相乘:
\[ F_X(x)F_Y(y)=2e^{-(2x+y)} \]
综上可知 \((X,Y)\) 相互独立。