条件概率分布
条件概率是联合分布和边缘分布的综合利用。
1 离散型随机变量
一名射手进行射击,击中目标的概率为 \(p(0<p<1)\),射击直到击中目标两次为止。假设 \((X,Y)\) 分别代表第一次和第二次的射中时的射击次数。求 \(X,Y\) 的联合分布和条件分布律。
- 射击中目标两次为止时,总共进行的射击数:\(n=1,2,3,\cdots,\)
- 射击中目标一次时,总共进行的射击数:\(m=1,2,3,\cdots, n-1\)
- \(n > m\)
联合分布律:
第 \(m\) 和 \(n\) 次命中目标的概率为 \(p\):
\[ P\{X=m,Y=n\}=p^2(1-p)^{(n-2)} \]
由上式子可以看出其实和 \(m\) 无关。
事件 \(X\) 的边缘分布律:
\[ \begin{aligned} P\{X=m\}&=\sum_{n=m+1}^{+\infty}P\{X=m,Y=n\}\\ &=\sum_{n=m+1}^{+\infty}p^2(1-p)^{(n-2)}\\ &=p^2\sum_{n=m+1}^{+\infty}(1-p)^{(n-2)}\\ &=p^2\frac{(1-p)^{(m-1)}}{1-(1-p)}\\ &=p(1-p)^{m-1}\\ \end{aligned} \]
事件 \(Y\) 的边缘分布律:
\[ \begin{aligned} P\{Y=n\}&=\sum_{m=1}^{n-1}P\{X=m,Y=n\}\\ &=\sum_{m=1}^{n-1}p^2(1-p)^{(n-2)}\\ &={(n-1)}p^2(1-p)^{(n-2)}\\ \end{aligned} \]
注意,上式子中其实和 \(m\) 无关。
条件分布律:
\[ \begin{aligned} P\{X=m|Y=n\}&=\frac{P\{X=m,Y=n\}}{P\{Y=n\}}=\frac{p^{2}(1-p)^{n-2}}{(n-1)p^{2}(1-p)^{n-2}}=\frac{1}{n-1}\\ P\{Y=n|X=m\}&=\frac{P\{X=m,Y=n\}}{P\{X=m\}}=\frac{p^{2}(1-p)^{n-2}}{p(1-p)^{m-1}}=p(1-p)^{n-m-1} \end{aligned} \]
2 连续型随机变量
连续型随机变量的条件概率公式为:
\[ \begin{aligned} P\{X \le x|y<Y \le y+\epsilon\}&=\frac{\int_{-\infty}^{x}f(x,y)dx}{f_Y(y)}\\ f_{X|Y}(x|y)&=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{\text{联合概率}}{\text{边缘概率}} \end{aligned} \]
设二维随机变量 \((X,Y)\) 在圆 \(x^2+y^2 \le 1\) 上服从均匀分布,求条件概率密度 \(f_{X|Y}(x|y)\)
联合概率分布:
\[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{\pi}, x^2+y^2\le 1\\ 0, \text{other} \end{cases} \]
边缘概率分布:
在 \(y\) 取值范围为 \([-1,1]\) 时,\(-\sqrt{1-y^2}\le x \le \sqrt{1-y^2}\)。所以 \(y\) 的边缘分布为:
\[ \begin{aligned} F_Y(y)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\\ &=\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{\pi}dx\\ &=\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}, (-1\le y\le 1) \end{aligned} \]
条件分布为:
\[ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{1}{2\sqrt{1-y^2}} \]
相应的,当 \(y=0\) 时结果为 \(\frac{1}{2}\),也就是半圆。